φωτογραφία φόντου

Μαθηματικα ΘετικηΣ & ΤεχνολογικηΣ ΚατευθυνσηΣ
Β Ταξη ΕΠΑ.Λ.

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ

Περιγραφη

Το βιβλίο αποτελείται­ από πέντε κεφάλαια.
  • Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στο Διανυσματικό Λογισμό και στην Αναλυτική Γεωμετρία. Τα διανύσματα έχουν ιδιαίτερη σημασία όχι μόνο για τα Μαθηματικά αλλά και για πολλές άλλες επιστήμες, αφού προσφέρουν τη δυνατότητα μαθηματικοποίησης μεγεθών, τα οποία δεν ορίζονται μόνο με την αριθμητική τιμή τους. Εξάλλου, η αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ενός σημείου του επιπέδου με ένα διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών οδηγεί στην “αλγεβροποίηση” της Γεωμετρίας, δηλαδή στη μελέτη των γεωμετρικών σχημάτων με αλγεβρικές μεθόδους.
  • Στο δεύτερο κεφάλαιο, αφού δοθεί ο ορισμός της εξίσωσης μιας γραμμής, μελετώνται οι ιδιότητες της ευθείας.
  • Στο τρίτο κεφάλαιο συνεχίζεται η ύλη της Αναλυτικής Γεωμετρίας με τη σπουδή των κωνικών τομών, οι οποίες για πρώτη φορά μελετήθηκαν από τους Αρχαίους Έλληνες. Σήμερα το ενδιαφέρον για τις κωνικές τομές είναι αυξημένο εξαιτίας του μεγάλου αριθμού των θεωρητικών και πρακτικών εφαρμογών τους.
  • Το τέταρτο κεφάλαιο αποτελεί μία εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών, στην ανάπτυξη της οποίας μεγάλη είναι η συμβολή των Αρχαίων Ελλήνων. Κύριος στόχος της διδασκαλίας της ενότητας αυτής είναι η άσκηση των μαθητών στην αποδεικτική διαδικασία.
  • Στο πέμπτο, τέλος, κεφάλαιο εισάγεται ο λογισμός με μιγαδικούς αριθμούς, οι οποίοι αποτελούν τη βάση για τη Μαθηματική Ανάλυση και συγχρόνως έχουν πολλές πρακτικές εφαρμογές στις άλλες επιστήμες.

Αναλυτικο Προγραμμα

Για το ισχύον αναλυτικό πρόγραμμα του μαθήματος, μεταβείτε στην αντίστοιχη ενότητα ακολουθώντας τον σύνδεσμο 'Προγράμματα Σπουδών'.

Στοχοι

Με κατάλληλες δραστηριότητες οι μαθητές αναμένεται να καταστούν ικανοί να:
  • Εφαρμόζουν τις βασικές ιδιότητες της διαιρετότητας.
  • Χρησιμοποιούν την έννοια και τις βασικές ιδιότητες των πρώτων αριθμών.
  • Επιλύουν τη διοφαντική εξίσωση πρώτου βαθμού.
  • Εφαρμόζουν τις ιδιότητες των ισοϋπόλοιπων αριθμών στη διαιρετότητα.
  • Χρησιμοποιούν την έννοια του διανύσματος και των ιδιοτήτων του στη λύση γεωμετρικών προβλημάτων.
  • Μελετούν τις ιδιότητες της ευθείας χρησιμοποιώντας την εξίσωσή της.
  • Μελετούν τις κωνικές τομές χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις τους.
  • Κάνουν λογισμό με μιγαδικούς αριθμούς.
  • Επιλύουν εξισώσεις στο σύνολο C.

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

1. Διανύσματα

Το διάνυσμα είναι ­ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκε μέσα από τη στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. Ο “κανόνας του παραλληλόγραμμου”, σύμφωνα με τον οποίο το μέτρο και η κατεύθυνση δύο δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα εκφράζονται από τη διαγώνιο του παραλληλόγραμμου που σχηματίζουν, ήταν γνωστός με διάφορες μορφές στους Αρχαίους Έλληνες επιστήμονες.
Σε αυτό το κεφάλαιο, το διάνυσμα στο χώρο θα ορισθεί ως προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα. Το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων θα εκφραστεί και αναλυτικά. Οι ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων θα προκύψουν από την αναλυτική τους έκφραση.
­Βασικοί Όροι: διάνυσμα, πρόσθεση διανυσμάτων, αφαίρεση διανυσμάτων, συντεταγμένες, εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

2. Η Ευθεία στο Επίπεδο

Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνε­ια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους αρχαίους γεωγράφους. Στην εφαρμογή αυτής της ιδέας στη Γεωμετρία στηρίζεται η έννοια της εξίσωσης μιας καμπύλης, δηλαδή της αλγεβρικής ισότητας που ικανοποιείται από τις συντεταγμένες των σημείων της καμπύλης (και μόνο αυτών). Η έννοια αυτή θεωρείται σήμερα τόσο απλή, ώστε η διδασκαλία της να αρχίζει από το Γυμνάσιο. Στην πραγματικότητα όμως η εξέλιξή της χρειάστηκε πολύ χρόνο και υπήρξε το αποτέλεσμα μιας σύνθεσης ανάμεσα στη Γεωμετρία και στην Άλγεβρα, με επαναστατικές συνέπειες για τα Μαθηματικά και τις Θετικές Επιστήμες.
Βασικοί Όροι: ευθεία, επίπεδο, εξίσωση ευθείας, εμβαδόν τριγώνου

3. Κωνικές Τομές

Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών κατασκευών, όπως, για παράδειγμα, το περίφημο πρόβλημα διπλασιασμού του κύβου: “Δοθέντος ενός κύβου, να κατασκευ­αστεί ένας άλλος με διπλάσιο όγκο”.
Στο κεφάλαιο αυτό θα δοθούν μόνο οι εξισώσεις των κωνικών τομών και των εφαπτομένων ως προς κατάλληλο ορθοκανονικό σύστημα.
Βασικοί Όροι: κωνική τομή, κύκλος, παραβολή, έλλειψη, υπερβολή

4. Θεωρία Αριθμών

­ Η Θεωρία Αριθμών, δηλαδή η μελ­έτη των ιδιοτήτων των θετικών ακεραίων, έθεσε από πολύ νωρίς τους μαθηματικούς μπροστά στο εξής πρόβλημα: “Κάποια πρόταση αληθεύει για ορισμένες περιπτώσεις ακεραίων. Είναι όμως αδύνατο να εξεταστούν όλες οι ειδικές περιπτώσεις. Πώς μπορούμε να αποδείξουμε ότι αληθεύει γενικά;”
Πιο συγκεκριμένα, θα παρουσιαστεί η μέθοδος της τελείας επαγωγής και θα αναφερθεί η αρχή της καλής διάταξης στο Ν η οποία και θα χρησιμοποιηθεί στη απόδειξη θεωρημάτων. Για την απόδειξη των ιδιοτήτων του ΜΚΔ δυο ακεραίων θα χρησιμοποιηθεί η γραμμική του έκφραση. Για τους πρώτους αριθμούς θα αποδειχθεί ότι το σύνολό τους είναι άπειρο και ότι κάθε ακέραιος αναλύεται κατά μοναδικό τρόπο σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Θα αποδειχθούν οι βασικές ιδιότητες των ισοϋπολοίπων αριθμών και θα χρησιμοποιηθούν στη διαιρετότητα. Δε θα γίνει αναφορά στη έννοια της ισοδυναμίας.
Βασικοί Όροι: θεωρία αριθμών, μαθηματική επαγωγή, ευκλείδια διαίρεση, διαιρετότητα, μέγιστος κοινός διαιρέτης, ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, πρώτοι αριθμοί, γραμμική διοφαντική εξίσωση, ισουπόλοιποι αριθμοί